比例复习
一、比例线段的性质
1. 基本性质： \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \longrightarrow ad=bc\)
- 比例式交叉相乘，所得积相等。（这是比例最基本的性质和判断比例是否成立的依据）
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反之，如果 \(ad=bc\) (其中 \(b \ne 0, d \ne 0\))，那么 \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) 也是成立的。
由此还可以推出其他比例式，比如 \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) 等，只要保证交叉相乘后仍是 \(ad=bc\) 即可。
2. 反比性质： \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \longleftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)
- 如果两个比相等，那么它们各自的倒数也相等。
- 使用反比性质后，比值会变为原来的倒数。需要注意 \(a, b, c, d\) 都不能为零。
理论依据： ∵ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，根据基本性质，得 \(ad=bc\)。将等式两边同时除以 \(ac\) (需保证 \(a \ne 0, c \ne 0\))，得 \(\frac{ad}{ac} = \frac{bc}{ac}\)，化简得 \(\frac{d}{c} = \frac{b}{a}\)，即 \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)。反之同理可证。
*3. 更比性质： \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)
- 如果两个比相等，那么交换比例内项或外项的位置，比例仍然成立。
- 例如，将内项 b 和 c 交换位置，得到 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)；将外项 a 和 d 交换位置，得到 \(\frac{d}{b} = \frac{c}{a}\)。
- 使用更比性质后，比值会发生改变。
理论依据： ∵ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，根据基本性质，得 \(ad=bc\)。将等式两边同时除以 \(cd\) (需保证 \(c \ne 0, d \ne 0\))，得 \(\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}\)，化简得 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)。反之同理可证。
4. 设k法
设k法是处理比例问题的一种常用技巧，核心思想是引入参数 k 来表示比值，从而将比例关系转化为等式关系，方便进行代数运算。
- 对于两个比例相等的情况，如 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，可以设比值为 k，即 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) (其中 \(k \ne 0\))。由此可得 \(a = bk\)，\(c = dk\)。
- 对于多个比值相等的情况（等比），如 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\)，可以设公比为 k，即 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k\) (其中 \(k \ne 0\)，且 \(b_i \ne 0\))。由此可得 \(a_1 = b_1 k\)，\(a_2 = b_2 k\)，…，\(a_n = b_n k\)。
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例如：若 \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\)，可设 \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k\)。
则 \(a=2k\)，\(b=3k\)，\(c=4k\)。
5. 合比、分比与合分比性质
如果 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (其中 \(b \ne 0, d \ne 0\))，那么：
- 合比性质： \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\)
- 分比性质： \(\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}\)
- 合分比性质： 如果 \(a \ne b\) 且 \(c \ne d\)，那么 \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\)
理论依据： 因为 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，所以在等式两边同时加 1，得 \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\)，即 \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\)。
理论依据： 因为 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，所以在等式两边同时减 1，得 \(\frac{a}{b} – 1 = \frac{c}{d} – 1\)，即 \(\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}\)。
理论依据： 由合比性质得 \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\)，由分比性质得 \(\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}\)。将合比性质的等式除以分比性质的等式（等号两边的非零项相除），即可得到 \(\frac{\frac{a+b}{b}}{\frac{a-b}{b}} = \frac{\frac{c+d}{d}}{\frac{c-d}{d}}\)，化简得 \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\)。注意分母 \(a-b \ne 0\) 且 \(c-d \ne 0\)。
更一般的形式 (推广)：
如果 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (其中 \(b \ne 0, d \ne 0\))，那么对于任意常数 \(x, y, m, n\)，且 \(m \cdot a + n \cdot b \ne 0, m \cdot c + n \cdot d \ne 0\)，有：
\[ \frac{x \cdot a + y \cdot b}{m \cdot a + n \cdot b} = \frac{x \cdot c + y \cdot d}{m \cdot c + n \cdot d} \]
理论依据： ∵ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，由设k法可设 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) (其中 \(k \ne 0\))。则 \(a = bk\)，\(c = dk\)。
左式 = \(\frac{x \cdot a + y \cdot b}{m \cdot a + n \cdot b} = \frac{x \cdot (bk) + y \cdot b}{m \cdot (bk) + n \cdot b} = \frac{b(xk+y)}{b(mk+n)} = \frac{xk+y}{mk+n}\)
右式 = \(\frac{x \cdot c + y \cdot d}{m \cdot c + n \cdot d} = \frac{x \cdot (dk) + y \cdot d}{m \cdot (dk) + n \cdot d} = \frac{d(xk+y)}{d(mk+n)} = \frac{xk+y}{mk+n}\)
∴ 左式 = 右式。注意分母 \(m \cdot a + n \cdot b \ne 0\) 且 \(m \cdot c + n \cdot d \ne 0\)。
使用合比、分比、合分比性质以及其推广形式后，比值通常会发生改变（等比性质除外）。
在进行比例变形时，一定要注意分母不能为零。
6. 等比性质
如果 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\) (其中 \(b_i \ne 0\))，那么对于任意不全为零的常数 \(m_1, m_2, \dots, m_n\)，且 \(m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n \ne 0\)，有：
\[ \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2 + \dots + m_n a_n}{m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n} = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} \]
- 等比性质是说，在多个比相等的条件下，将这些比的前项和后项分别按任意一组不全为零的乘数相加，所得的新比仍然等于原来的每一个比。
- 使用等比性质后，比值不会发生改变。
- 变形过程中，分母必须不为零。
理论依据： ∵ \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\)，由设k法可设 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k\) (其中 \(k \ne 0\))。
则 \(a_1 = b_1 k\)，\(a_2 = b_2 k\)，…，\(a_n = b_n k\)。
∴ \(\frac{m_1 a_1 + m_2 a_2 + \dots + m_n a_n}{m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n} = \frac{m_1 (b_1 k) + m_2 (b_2 k) + \dots + m_n (b_n k)}{m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n} = \frac{k(m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n)}{m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n}\)
在分母 \(m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n \ne 0\) 的情况下，上式化简得 \(k\)。
而 \(k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\)。
所以 \(\frac{m_1 a_1 + m_2 a_2 + \dots + m_n a_n}{m_1 b_1 + m_2 b_2 + \dots + m_n b_n} = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\)。