题目：如图，正六边形 \(ABCDEF\)，连接 \(OE\)、\(OD\)，如果 \(\overrightarrow{OD} = \vec{a}\)，\(\overrightarrow{OE} = \vec{b}\)，那么 \(\overrightarrow{AB} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\).
详细解答
- 正六边形的性质分析
正六边形的每个内角为120°，各边长度相等，中心O到各顶点的距离相等。已知\(\overrightarrow{OD} = \vec{a}\)，\(\overrightarrow{OE} = \vec{b}\)，需通过向量运算求\(\overrightarrow{AB}\)。 - 关键步骤解析
- 连接BD：由正六边形对称性可知，\(AB = DE\)，且\(\angle ABD = \angle BDE = 90^\circ\)，因此\(AB \parallel DE\)。
- 向量关系：因为\(AB \parallel DE\)且长度相等，故\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}\)。
- 向量减法：\(\overrightarrow{ED}\)表示从E到D的位移，即\(\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OE} = \vec{a} – \vec{b}\)。
- 结论
\(\overrightarrow{AB} = \vec{a} – \vec{b}\)。
相关知识点复习
- 正六边形的性质
- 所有边长相等，内角均为120°。
- 中心到各顶点的距离相等，对角线具有对称性。
- 向量的运算
- 向量减法：\(\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OE}\)，表示从E到D的位移。
- 平行向量：若两向量方向相同、长度相等，则它们相等（如\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}\)）。
- 几何推理
- 利用平行线的判定（同位角、内错角相等）证明线段平行。
- 通过对称性简化问题（如正六边形中边的对称关系）。
易错与常错点
- 向量方向混淆
- 错误：将\(\overrightarrow{ED}\)写成\(\overrightarrow{DE}\)（即\(\overrightarrow{OE} – \overrightarrow{OD}\)）。
- 正确：\(\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OE}\)。
- 几何关系误判
- 错误：认为AB与DE不平行，导致无法建立向量关系。
- 正确：通过角度计算（如90°）证明AB与DE平行。
- 符号错误
- 错误：将答案写为\(\vec{b} – \vec{a}\)，忽略向量方向。
- 正确：严格按照位移方向计算（从E到D为\(\vec{a} – \vec{b}\)）。
答案
\(\boxed{\vec{a} – \vec{b}}\)