题目：
在一个串联电路中，电阻R1和R2串联，电压表V并联在R2上，电流表A串联在电路中，电源电压保持不变，R1、R2是定值电阻，两电表示数乘积为P1。用定值电阻R3替换R2后，两电表示数乘积为P2，若P1=P2，则下列判断中可能正确的是：
① R2 < R3 < R1
② R3 < R2 < R1
③ R2 < R1 < R3
④ R3 < R1 < R2
详细解答：
我们尝试一种更巧妙的解法，利用物理意义和简化的数学推导，模仿学生思路，保持简洁且直观，适合选择题的快速解答。
这是一个串联电路，电源电压U为常数。电流表A测量总电流，电压表V测量R2（或R3）的电压。两电表示数乘积P1 = I1 · V2，替换R2为R3后，P2 = I2 · V3，且P1 = P2。我们需要找出满足条件的电阻大小关系。
先分析电路：
– 初始电路：总电阻\( R_1 + R_2 \)，电流\( I_1 = \frac{U}{R_1 + R_2} \)，R2电压\( V_2 = I_1 \cdot R_2 = \frac{U \cdot R_2}{R_1 + R_2} \)。
乘积：
\[
P_1 = I_1 \cdot V_2 = \frac{U}{R_1 + R_2} \cdot \frac{U \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^2}.
\]
– 替换R3后：总电阻\( R_1 + R_3 \)，电流\( I_2 = \frac{U}{R_1 + R_3} \)，R3电压\( V_3 = \frac{U \cdot R_3}{R_1 + R_3} \)。
乘积：
\[
P_2 = I_2 \cdot V_3 = \frac{U^2 \cdot R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
题目条件\( P_1 = P_2 \)，即：
\[
\frac{U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{U^2 \cdot R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
约去\( U^2 \)，得：
\[
\frac{R_2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
为简化推导，设\( R_1 = a \)，\( R_2 = b \)，\( R_3 = c \)。方程变为：
\[
\frac{b}{(a + b)^2} = \frac{c}{(a + c)^2}.
\]
交叉相乘：
\[
b (a + c)^2 = c (a + b)^2.
\]
这里我们尝试一种巧妙的视角：注意到等式涉及电阻的平方关系，联想到乘积的物理意义。直接展开可能复杂，我们转而分析方程的解。取倒数简化计算：
\[
\frac{(a + b)^2}{b} = \frac{(a + c)^2}{c}.
\]
展开：
\[
\frac{a^2 + 2ab + b^2}{b} = \frac{a^2 + 2ac + c^2}{c}.
\]
即：
\[
\frac{a^2}{b} + 2a + b = \frac{a^2}{c} + 2a + c.
\]
两边消去2a，得：
\[
\frac{a^2}{b} + b = \frac{a^2}{c} + c.
\]
整理：
\[
\frac{a^2}{b} – \frac{a^2}{c} = c – b.
\]
左边通分：
\[
a^2 \left( \frac{c – b}{b c} \right) = c – b.
\]
若\( c \neq b \)，两边除以\( c – b \)，得：
\[
\frac{a^2}{b c} = 1 \implies a^2 = b c.
\]
即：
\[
R_1^2 = R_2 \cdot R_3.
\]
若\( b = c \)，即\( R_2 = R_3 \)，显然满足\( P_1 = P_2 \)，但选项要求严格不等关系，排除此情况。因此，关键关系是\( R_1^2 = R_2 \cdot R_3 \)。我们用这个关系快速判断选项。
分析选项：
– 选项①：\( R_2 < R_3 < R_1 \)，即\( b < c < a \)。
若\( b c = a^2 \)，则\( c = \frac{a^2}{b} \)。要求\( b < \frac{a^2}{b} < a \)。
– \( b < \frac{a^2}{b} \implies b^2 < a^2 \implies b < a \)。
– \( \frac{a^2}{b} < a \implies a^2 < a b \implies a < b \)。
矛盾：\( b < a \)和\( a < b \)。选项①不可能。
– 选项②：\( R_3 < R_2 < R_1 \)，即\( c < b < a \)。
\( c = \frac{a^2}{b} \)，要求\( \frac{a^2}{b} < b < a \)。
– \( \frac{a^2}{b} < b \implies a^2 < b^2 \implies a < b \)。
– \( b < a \)，与前述一致，但\( a < b \)和\( b < a \)矛盾。选项②不可能。
– 选项③：\( R_2 < R_1 < R_3 \)，即\( b < a < c \)。
\( c = \frac{a^2}{b} \)，要求\( b < a < \frac{a^2}{b} \)。
– \( b < a \)。
– \( a < \frac{a^2}{b} \implies a b < a^2 \implies b < a \)。
无矛盾。试值：设\( a = 2 \)，\( b = 1 \)，则\( c = \frac{4}{1} = 4 \)，满足\( 1 < 2 < 4 \)。选项③可能正确。
– 选项④：\( R_3 < R_1 < R_2 \)，即\( c < a < b \)。
\( c = \frac{a^2}{b} \)，要求\( \frac{a^2}{b} < a < b \)。
– \( \frac{a^2}{b} < a \implies a^2 < a b \implies a < b \)。
– \( a < b \)。
无矛盾。试值：设\( a = 2 \)，\( b = 4 \)，则\( c = \frac{4}{4} = 1 \)，满足\( 1 < 2 < 4 \)。选项④可能正确。
巧妙之处：通过简化的倒数变换，快速得到\( R_1^2 = R_2 \cdot R_3 \)，避免复杂展开，直接用乘积关系判断选项，减少计算量。验证时仅需少量代数和数值检查，适合选择题快速解法。
结论：选项③和④满足条件，答案为：
\[
\boxed{\text{③④}}
\]
相关知识点复习：
1. 串联电路：总电阻\( R_{\text{总}} = R_1 + R_2 \)，电流相等，电压分配。
2. 欧姆定律：\( U = I \cdot R \)。
3. 电表接法：电流表串联，电压表并联。
4. 功率关系：电表示数乘积反映功率形式\( P = U \cdot I \).
易错提示和拓展：
易错提示：
1. 可能误认为\( R_2 = R_3 \)，但选项要求严格不等，需用\( R_1^2 = R_2 \cdot R_3 \)。
2. 推导时勿忽略电阻正值，选项分析需结合乘积关系。
3. 注意电压表测量的是分电阻电压，非总电压。
拓展：
– 若电路中加入变阻器，P1 = P2是否仍成立？可尝试推导。
– 探讨乘积\( I \cdot U \)在实际电路中的意义，如功耗优化问题。