题目：
在一个串联电路中，电阻R1和R2串联，电压表V并联在R2上，电流表A串联在电路中，电源电压保持不变，R1、R2是定值电阻，两电表示数乘积为P1。用定值电阻R3替换R2后，两电表示数乘积为P2，若P1=P2，则下列判断中可能正确的是：
① R2 < R3 < R1
② R3 < R2 < R1
③ R2 < R1 < R3
④ R3 < R1 < R2
详细解答：
我们用假设法来解答这个问题，模仿一名学生的解题思路，力求简洁明了。
这是一个串联电路，电源电压为常数U，电阻R1和R2串联。电流表A测量总电流，电压表V测量R2的电压。两电表示数乘积P1为电流I1和电压V2的乘积。用R3替换R2后，乘积为P2，且P1 = P2。我们需要判断选项中电阻大小关系哪个可能正确。
先分析初始电路：
– 总电阻：\( R_1 + R_2 \)。
– 总电流：\( I_1 = \frac{U}{R_1 + R_2} \)。
– R2两端电压：\( V_2 = I_1 \cdot R_2 = \frac{U \cdot R_2}{R_1 + R_2} \)。
– 两电表示数乘积：
\[
P_1 = I_1 \cdot V_2 = \frac{U}{R_1 + R_2} \cdot \frac{U \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^2}.
\]
替换R2为R3后：
– 总电阻：\( R_1 + R_3 \)。
– 总电流：\( I_2 = \frac{U}{R_1 + R_3} \)。
– R3两端电压：\( V_3 = I_2 \cdot R_3 = \frac{U \cdot R_3}{R_1 + R_3} \)。
– 两电表示数乘积：
\[
P_2 = I_2 \cdot V_3 = \frac{U}{R_1 + R_3} \cdot \frac{U \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{U^2 \cdot R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
题目给出\( P_1 = P_2 \)，即：
\[
\frac{U^2 \cdot R_2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{U^2 \cdot R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
由于\( U^2 \neq 0 \)，约去\( U^2 \)，得：
\[
\frac{R_2}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{R_3}{(R_1 + R_3)^2}.
\]
为简化，我们假设一组具体的电阻值来测试选项，验证哪些满足条件。设电源电压\( U = 6 \, \text{V} \)，并尝试为\( R_1, R_2, R_3 \)赋值，使\( P_1 = P_2 \)，同时检查选项中的大小关系。
测试选项③：\( R_2 < R_1 < R_3 \)
假设\( R_2 = 1 \, \Omega \)，\( R_1 = 2 \, \Omega \)，\( R_3 = 4 \, \Omega \)。
– 初始电路：
总电阻：\( R_1 + R_2 = 2 + 1 = 3 \, \Omega \)。
电流：\( I_1 = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{6}{3} = 2 \, \text{A} \)。
R2电压：\( V_2 = I_1 \cdot R_2 = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_1 = I_1 \cdot V_2 = 2 \cdot 2 = 4 \)。
– 替换R3后：
总电阻：\( R_1 + R_3 = 2 + 4 = 6 \, \Omega \)。
电流：\( I_2 = \frac{U}{R_1 + R_3} = \frac{6}{6} = 1 \, \text{A} \)。
R3电压：\( V_3 = I_2 \cdot R_3 = 1 \cdot 4 = 4 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_2 = I_2 \cdot V_3 = 1 \cdot 4 = 4 \)。
– 检查：\( P_1 = P_2 = 4 \)，条件满足。
– 电阻关系：\( R_2 = 1 < R_1 = 2 < R_3 = 4 \)，满足选项③。
因此，选项③可能正确。
测试选项④：\( R_3 < R_1 < R_2 \)
假设\( R_3 = 1 \, \Omega \)，\( R_1 = 2 \, \Omega \)，\( R_2 = 4 \, \Omega \)。
– 初始电路：
总电阻：\( R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6 \, \Omega \)。
电流：\( I_1 = \frac{6}{6} = 1 \, \text{A} \)。
R2电压：\( V_2 = 1 \cdot 4 = 4 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_1 = 1 \cdot 4 = 4 \)。
– 替换R3后：
总电阻：\( R_1 + R_3 = 2 + 1 = 3 \, \Omega \)。
电流：\( I_2 = \frac{6}{3} = 2 \, \text{A} \)。
R3电压：\( V_3 = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_2 = 2 \cdot 2 = 4 \)。
– 检查：\( P_1 = P_2 = 4 \)，条件满足。
– 电阻关系：\( R_3 = 1 < R_1 = 2 < R_2 = 4 \)，满足选项④。
因此，选项④可能正确。
测试选项①：\( R_2 < R_3 < R_1 \)
假设\( R_2 = 1 \, \Omega \)，\( R_3 = 2 \, \Omega \)，\( R_1 = 4 \, \Omega \)。
– 初始电路：
总电阻：\( 4 + 1 = 5 \, \Omega \)。
电流：\( I_1 = \frac{6}{5} = 1.2 \, \text{A} \)。
R2电压：\( V_2 = 1.2 \cdot 1 = 1.2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_1 = 1.2 \cdot 1.2 = 1.44 \)。
– 替换R3后：
总电阻：\( 4 + 2 = 6 \, \Omega \)。
电流：\( I_2 = \frac{6}{6} = 1 \, \text{A} \)。
R3电压：\( V_3 = 1 \cdot 2 = 2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_2 = 1 \cdot 2 = 2 \)。
– 检查：\( P_1 = 1.44 \neq P_2 = 2 \)，条件不满足。
因此，选项①不可能正确。
测试选项②：\( R_3 < R_2 < R_1 \)
假设\( R_3 = 1 \, \Omega \)，\( R_2 = 2 \, \Omega \)，\( R_1 = 4 \, \Omega \)。
– 初始电路：
总电阻：\( 4 + 2 = 6 \, \Omega \)。
电流：\( I_1 = \frac{6}{6} = 1 \, \text{A} \)。
R2电压：\( V_2 = 1 \cdot 2 = 2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_1 = 1 \cdot 2 = 2 \)。
– 替换R3后：
总电阻：\( 4 + 1 = 5 \, \Omega \)。
电流：\( I_2 = \frac{6}{5} = 1.2 \, \text{A} \)。
R3电压：\( V_3 = 1.2 \cdot 1 = 1.2 \, \text{V} \)。
乘积：\( P_2 = 1.2 \cdot 1.2 = 1.44 \)。
– 检查：\( P_1 = 2 \neq P_2 = 1.44 \)，条件不满足。
因此，选项②不可能正确。
结论：通过假设法，选项③和④在特定电阻值下满足\( P_1 = P_2 \)，而选项①和②不满足。因此，可能正确的选项是：
\[
\boxed{\text{③④}}
\]
相关知识点复习：
1. 串联电路：
– 总电阻：\( R_{\text{总}} = R_1 + R_2 \)。
– 电流相等，电压分配：\( U_1 = I \cdot R_1 \)，\( U_2 = I \cdot R_2 \)。
2. 欧姆定律：\( U = I \cdot R \)。
3. 电表接法：
– 电流表串联，电压表并联。
4. 功率：电表示数乘积类似功率\( P = U \cdot I \)。
易错提示和拓展：
易错提示：
1. 学生可能直接假设\( R_2 = R_3 \)，但这不满足选项中的严格不等关系，需仔细验证。
2. 假设数值时，需确保电阻值满足选项中的大小关系，否则可能漏解或错解。
3. 注意电压表测量的是R2（或R3）的电压，不是总电压。
拓展：
– 尝试用其他电压值U（如10V）重复假设，验证结论是否一致。
– 思考如果电路改为并联，电表示数乘积的关系会如何变化？可作为课后练习。