不等式与不等式组
引言
不等式是数学中表示两个表达式之间大小关系的重要工具，与方程一样，不等式在解决实际问题中发挥着关键作用。本讲义旨在帮助七年级学生系统地学习不等式与不等式组的基本概念、解法以及应用。
基本概念
不等式的定义
不等式是指用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）或“≠”（不等于）表示两个表达式之间大小关系的式子。
不等式的性质
- 对称性：如果 \(a > b\)，那么 \(b < a\)。
- 传递性：如果 \(a > b\) 且 \(b > c\)，那么 \(a > c\)。
- 可加性：不等式的两边加上同一个数，不等号方向不变。
- 如果 \(a > b\)，那么 \(a + c > b + c\)
- 如果 \(a < b\)，那么 \(a + c < b + c\)
- 可乘性：
- 如果 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，那么 \(ac > bc\)
- 如果 \(a > b\) 且 \(c < 0\)，那么 \(ac < bc\)
- 同向不等式可加性：如果 \(a > b\) 且 \(c > d\)，那么 \(a + c > b + d\)。
不等式的解集
不等式的所有解的集合称为解集。解集的表示通常使用区间表示法或数轴表示法。
任意两个实数的大小关系
对于任意两个实数 \(a\) 和 \(b\)，有以下三种情况：
- 如果 \(a – b > 0\)，则 \(a > b\)
- 如果 \(a – b = 0\)，则 \(a = b\)
- 如果 \(a – b < 0\)，则 \(a < b\)
一元一次不等式
定义
含有一个未知数，且未知数的次数是一次的不等式，称为一元一次不等式。
解法步骤
- 去分母：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
- 去括号：使用分配律展开括号。
- 移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
- 合并同类项：将同类项合并。
- 系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数，注意除以负数时要改变不等号方向。
例题解析
例题1：解不等式 \(3x + 2 > 5x – 4\)
题目：\(3x + 2 > 5x – 4\)
详细解答：
\[
\begin{aligned}
& 3x + 2 > 5x – 4 \\
& 3x – 5x > -4 – 2 \\
& -2x > -6 \\
& x < 3 \quad (\text{除以-2，不等号方向改变})
\end{aligned}
\]
解集：所有小于3的实数，即 \(x \in (-\infty, 3)\)。
相关知识点复习：一元一次不等式的移项、合并同类项、系数化简；除以负数时不等号方向改变。
易错提示和拓展：注意除以负数时不等号的变化，易错点是忘记翻转方向。拓展练习可尝试 \(5x – 3 < 2x + 6\)。
例题2：解不等式 \(\frac{2x + 1}{3} \geq \frac{x – 2}{2} + 1\)
题目：\(\frac{2x + 1}{3} \geq \frac{x – 2}{2} + 1\)
详细解答：
\[
\begin{aligned}
& \frac{2x + 1}{3} \geq \frac{x – 2}{2} + 1 \\
& 2(2x + 1) \geq 3(x – 2) + 6 \quad (\text{两边同乘6，去分母}) \\
& 4x + 2 \geq 3x – 6 + 6 \\
& 4x + 2 \geq 3x \\
& 4x – 3x \geq -2 \\
& x \geq -2
\end{aligned}
\]
解集：所有大于等于-2的实数，即 \(x \in [-2, +\infty)\)。
相关知识点复习：去分母时需乘以最小公倍数，注意分配律的正确使用。
易错提示和拓展：去分母后易漏乘括号内项，建议验算 \(x = -2\) 是否满足原不等式。拓展可练习含分数的复杂不等式，如 \(\frac{3x – 1}{4} < \frac{x + 2}{3}\)。
一元一次不等式组
定义
含有相同未知数的几个一元一次不等式组合在一起，称为一元一次不等式组。
解法步骤
- 分别求解：先分别求出每个不等式的解集。
- 找公共部分：确定这些解集的公共部分，即同时满足所有不等式的解。
例题解析
例题3：解不等式组
\[
\begin{cases}
2x – 1 > 3x + 2 \\
x + 1 \geq -3
\end{cases}
\]
题目：\(\begin{cases} 2x – 1 > 3x + 2 \\ x + 1 \geq -3 \end{cases}\)
详细解答：
- 解第一个不等式：
\[
\begin{aligned}
& 2x – 1 > 3x + 2 \\
& 2x – 3x > 2 + 1 \\
& -x > 3 \\
& x < -3 \end{aligned} \] - 解第二个不等式：
\[
\begin{aligned}
& x + 1 \geq -3 \\
& x \geq -4
\end{aligned}
\] - 找公共解：
第一个不等式的解集为 \(x < -3\)，第二个不等式的解集为 \(x \geq -4\)，它们的公共解为 \(-4 \leq x < -3\)。
解集：\([-4, -3)\)。
相关知识点复习：不等式组的解集是各不等式解集的交集，需用数轴辅助理解。
易错提示和拓展：易错点是忽略交集范围，建议画数轴确认解集。拓展可练习 \(\begin{cases} x > 1 \\ x \leq 5 \end{cases}\).
例题4：解不等式组
\[
\begin{cases}
3x + 2 > 5x – 4 \\
\frac{x}{2} – 1 \leq \frac{2x + 1}{3}
\end{cases}
\]
题目：\(\begin{cases} 3x + 2 > 5x – 4 \\ \frac{x}{2} – 1 \leq \frac{2x + 1}{3} \end{cases}\)
详细解答：
- 解第一个不等式：
\[
\begin{aligned}
& 3x + 2 > 5x – 4 \\
& 3x – 5x > -4 – 2 \\
& -2x > -6 \\
& x < 3 \end{aligned} \] - 解第二个不等式：
\[
\begin{aligned}
& \frac{x}{2} – 1 \leq \frac{2x + 1}{3} \\
& 3x – 6 \leq 4x + 2 \quad (\text{两边同乘6，去分母}) \\
& 3x – 4x \leq 2 + 6 \\
& -x \leq 8 \\
& x \geq -8
\end{aligned}
\] - 找公共解：
第一个不等式的解集为 \(x < 3\)，第二个不等式的解集为 \(x \geq -8\)，它们的公共解为 \(-8 \leq x < 3\)。
解集：\([-8, 3)\)。
相关知识点复习：不等式组解法、分数不等式的处理、数轴表示。
易错提示和拓展：去分母时注意每项都要乘，易错点是计算错误。拓展可练习 \(\begin{cases} 2x + 1 > 5 \\ \frac{x – 1}{2} \leq 3 \end{cases}\).
不等式的应用
不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如资源分配、优化决策等。
实际问题中的应用
例题5：某班有35名学生，其中会打篮球的学生比不会打篮球的学生多5人。问至少有多少名学生会打篮球？
题目：某班有35名学生，其中会打篮球的学生比不会打篮球的学生多5人。问至少有多少名学生会打篮球？
详细解答：
设会打篮球的学生有 \(x\) 名，则不会打篮球的学生有 \(35 – x\) 名。根据题意，有：
\[
\begin{aligned}
& x > (35 – x) + 5 \\
& x > 35 – x + 5 \\
& x + x > 40 \\
& 2x > 40 \\
& x > 20
\end{aligned}
\]
因为学生人数必须为整数，所以至少有21名学生会打篮球。
答案：至少有21名学生会打篮球。
相关知识点复习：不等式的建模、整数解的处理。
易错提示和拓展：注意人数为整数，易错点是忽略取整。拓展可练习类似问题，如“某班40人，男生比女生多6人，求男生最少人数”。
例题6：某商品的进价为100元，售价为150元。为了促销，商家决定降价销售，但希望利润不低于20%。问最多可以降价多少元？
题目：某商品的进价为100元，售价为150元。为了促销，商家决定降价销售，但希望利润不低于20%。问最多可以降价多少元？
详细解答：
设降价 \(x\) 元，则新的售价为 \(150 – x\) 元。利润不低于20%，即：
\[
\begin{aligned}
& (150 – x) – 100 \geq 100 \times 20\% \\
& 50 – x \geq 20 \\
& -x \geq -30 \\
& x \leq 30
\end{aligned}
\]
所以，最多可以降价30元。
答案：最多可以降价30元。
相关知识点复习：不等式在利润问题中的应用、百分比的处理。
易错提示和拓展：注意利润百分比的基准是进价，易错点是误用售价。拓展可练习“进价80元，售价120元，利润不低于25%，求最多降价”。
练习题
基础题
- 解不等式：\(2x + 3 < 5x - 1\)
- 解不等式：\(\frac{3x – 2}{4} \geq \frac{x + 1}{2} – 1\)
- 解不等式组：
\[
\begin{cases}
x + 2 > 3x – 4 \\
2x – 1 \leq x + 3
\end{cases}
\]
提高题
- 某班有40名学生，其中女生比男生多4人。问至少有多少名女生？
- 某商品的进价为120元，售价为180元。为了促销，商家决定降价销售，但希望利润不低于25%。问最多可以降价多少元？
- 甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒6米。如果乙在甲前面10米，问乙最多领先多少秒，甲才能追上乙？
综合题
- 某工厂生产一种产品，每件成本为20元，售价为30元。为了增加销量，工厂决定降价销售，但希望每件利润不低于原利润的80%。问最多可以降价多少元？
- 某班有50名学生，其中会游泳的学生比不会游泳的学生多10人。问至少有多少名学生会游泳？如果会游泳的学生中，有20%的人会潜水，问至少有多少名学生会潜水？
答案
基础题
-
题目：\(2x + 3 < 5x - 1\)
详细解答：
\[
\begin{aligned}
& 2x + 3 < 5x - 1 \\ & 2x - 5x < -1 - 3 \\ & -3x < -4 \\ & x > \frac{4}{3}
\end{aligned}
\]解集：\(\left(\frac{4}{3}, +\infty\right)\)。
相关知识点复习：移项、系数化简、除以负数翻转不等号。
易错提示和拓展：注意除以负数时不等号方向，易错点是计算符号错误。拓展练习可尝试 \(3x + 4 < 6x - 2\)。 -
题目：\(\frac{3x – 2}{4} \geq \frac{x + 1}{2} – 1\)
详细解答：
\[
\begin{aligned}
& \frac{3x – 2}{4} \geq \frac{x + 1}{2} – 1 \\
& 3x – 2 \geq 2(x + 1) – 4 \quad (\text{两边同乘4，去分母}) \\
& 3x – 2 \geq 2x + 2 – 4 \\
& 3x – 2 \geq 2x – 2 \\
& 3x – 2x \geq -2 + 2 \\
& x \geq 0
\end{aligned}
\]解集：\([0, +\infty)\)。
相关知识点复习：去分母、分配律、合并同类项。
易错提示和拓展：去分母时注意每项都要乘，易错点是漏乘常数项。拓展可尝试 \(\frac{2x + 3}{5} \leq \frac{x – 1}{2} + 2\)。 -
题目：\(\begin{cases} x + 2 > 3x – 4 \\ 2x – 1 \leq x + 3 \end{cases}\)
详细解答：
- 解第一个不等式：
\[
\begin{aligned}
& x + 2 > 3x – 4 \\
& x – 3x > -4 – 2 \\
& -2x > -6 \\
& x < 3 \end{aligned} \] - 解第二个不等式：
\[
\begin{aligned}
& 2x – 1 \leq x + 3 \\
& 2x – x \leq 3 + 1 \\
& x \leq 4
\end{aligned}
\] - 找公共解：
第一个不等式的解集为 \(x < 3\)，第二个不等式的解集为 \(x \leq 4\)，它们的公共解为 \(x < 3\)。
解集：\((-\infty, 3)\)。
相关知识点复习：不等式组的解集交集、数轴表示法。
易错提示和拓展：注意取交集时严格不等式的优先级，易错点是误认为解集包含3。拓展可练习 \(\begin{cases} x + 1 > 2 \\ 3x – 2 \leq 7 \end{cases}\). - 解第一个不等式：
提高题
-
题目：某班有40名学生，其中女生比男生多4人。问至少有多少名女生？
详细解答：
设女生有 \(x\) 名，则男生有 \(40 – x\) 名。根据题意，有：
\[
\begin{aligned}
& x > (40 – x) + 4 \\
& x > 40 – x + 4 \\
& x + x > 44 \\
& 2x > 44 \\
& x > 22
\end{aligned}
\]因为学生人数必须为整数，所以至少有23名女生。
答案：至少有23名女生。
相关知识点复习：不等式建模、整数解处理。
易错提示和拓展：注意人数为整数，易错点是忽略取整。拓展可练习“某班45人，男生比女生多5人，求男生最少人数”。 -
题目：某商品的进价为120元，售价为180元。为了促销，商家决定降价销售，但希望利润不低于25%。问最多可以降价多少元？
详细解答：
设降价 \(x\) 元，则新的售价为 \(180 – x\) 元。利润不低于25%，即：
\[
\begin{aligned}
& (180 – x) – 120 \geq 120 \times 25\% \\
& 60 – x \geq 30 \\
& -x \geq -30 \\
& x \leq 30
\end{aligned}
\]所以，最多可以降价30元。
答案：最多可以降价30元。
相关知识点复习：利润百分比计算、不等式应用。
易错提示和拓展：注意利润百分比基于进价，易错点是误用售价。拓展可练习“进价100元，售价160元，利润不低于30%，求最多降价”。 -
题目：甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒6米。如果乙在甲前面10米，问乙最多领先多少秒，甲才能追上乙？
详细解答：
设甲追上乙时用时 \(t\) 秒，则乙跑了 \(6t\) 米，甲跑了 \(5t\) 米，且乙初始领先10米。根据题意，甲追上乙时：
\[
\begin{aligned}
& 5t = 6t + 10 \\
& 5t – 6t = 10 \\
& -t = 10 \\
& t = -10
\end{aligned}
\]时间不能为负，说明甲无法追上乙。因为乙速度更快（6米/秒 > 5米/秒），且初始领先10米，距离差会随时间增大，所以乙可以无限领先。
答案：乙可以无限领先。
相关知识点复习：追及问题的建模、速度与时间关系。
易错提示和拓展：易错点是忽略速度差导致的无限领先，建议分析速度关系。拓展可练习“甲速4米/秒，乙速5米/秒，乙领先20米，求追上时间”。
综合题
-
题目：某工厂生产一种产品，每件成本为20元，售价为30元。为了增加销量，工厂决定降价销售，但希望每件利润不低于原利润的80%。问最多可以降价多少元？
详细解答：
原利润为 \(30 – 20 = 10\) 元，原利润的80%为 \(10 \times 0.8 = 8\) 元。设降价 \(x\) 元，则新的售价为 \(30 – x\) 元。根据题意，有：
\[
\begin{aligned}
& (30 – x) – 20 \geq 8 \\
& 10 – x \geq 8 \\
& -x \geq -2 \\
& x \leq 2
\end{aligned}
\]所以，最多可以降价2元。
答案：最多可以降价2元。
相关知识点复习：利润计算、不等式建模。
易错提示和拓展：注意利润百分比基于原利润，易错点是误用售价。拓展可练习“成本30元，售价50元，利润不低于70%，求最多降价”。 -
题目：某班有50名学生，其中会游泳的学生比不会游泳的学生多10人。问至少有多少名学生会游泳？如果会游泳的学生中，有20%的人会潜水，问至少有多少名学生会潜水？
详细解答：
设会游泳的学生有 \(x\) 名，则不会游泳的学生有 \(50 – x\) 名。根据题意，有：
\[
\begin{aligned}
& x > (50 – x) + 10 \\
& x > 50 – x + 10 \\
& x + x > 60 \\
& 2x > 60 \\
& x > 30
\end{aligned}
\]因为学生人数必须为整数，所以至少有31名学生会游泳。
会游泳的学生中，有20%的人会潜水，所以会潜水的学生数为：
\[
0.2 \times 31 = 6.2
\]因为学生人数必须为整数，所以至少有7名学生会潜水。
答案：至少有31名学生会游泳，至少有7名学生会潜水。
相关知识点复习：不等式建模、百分比与整数处理。
易错提示和拓展：注意取整时向上取，易错点是直接用小数。拓展可练习“某班60人，会跳舞的人比不会的多12人，20%会跳舞的人会街舞，求最少街舞人数”。