几何题目：正方形中的相似三角形

题目

正方形 \( ABCD \) 的边长为 1，点 \( P \) 在 \( AD \) 的延长线上，且 \( PD < CD \)。延长 \( PB \)、\( PC \)，如果 \( \triangle CDP \sim \triangle PAB \)，求 \( \tan \angle BPA \)。（如图 3 所示）

图形

以下是正方形 \( ABCD \)、点 \( P \) 及延长线 \( PB \)、\( PC \) 的示意图：

[latexpage]
\begin{tikzpicture}
% 定义正方形 ABCD 的顶点
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (0,2);
\coordinate (C) at (2,2);
\coordinate (D) at (2,0);
% 定义点 P 在 AD 延长线上，PD = (sqrt(5)-1)/2 ≈ 0.618
\coordinate (P) at (2.618,0);
% 绘制正方形 ABCD
\draw (A) — (B) — (C) — (D) — cycle;
% 绘制延长线 PB 和 PC
\draw (P) — (B);
\draw (P) — (C);
% 标注顶点
\node at (A) [below left] {$A$};
\node at (B) [above left] {$B$};
\node at (C) [above right] {$C$};
\node at (D) [below right] {$D$};
\node at (P) [below] {$P$};
\end{tikzpicture}

解答

已知条件：正方形 \( ABCD \)，边长 \( AB = BC = CD = DA = 1 \)。点 \( P \) 在 \( AD \) 的延长线上，且 \( PD < CD \)，即 \( PD < 1 \)。设 \( PD = x \)，其中 \( 0 < x < 1 \)。\( \triangle CDP \sim \triangle PAB \)，求 \( \tan \angle BPA \)。

我们给各点赋坐标：\( A(0,0) \)，\( B(0,1) \)，\( C(1,1) \)，\( D(1,0) \)，点 \( P(1+x, 0) \)，其中 \( 0 < x < 1 \)，所以 \( PD = x \).

步骤 1：利用相似三角形：由于 \( \triangle CDP \sim \triangle PAB \)，对应角为 \( \angle CDP \leftrightarrow \angle PAB \)，\( \angle DCP \leftrightarrow \angle APB \)，\( \angle CPD \leftrightarrow \angle BPA \)。对应边为 \( DC \leftrightarrow AP \)，\( CP \leftrightarrow PB \)，\( DP \leftrightarrow AB \)。所以有比例关系：

\[
\frac{DC}{AP} = \frac{DP}{AB}
\]

其中 \( DC = 1 \)，\( AB = 1 \)，\( DP = x \)，\( AP = AD + DP = 1 + x \)。代入得：

\[
\frac{1}{1+x} = \frac{x}{1}
\]

解得：

\[
1 = x(1+x) \implies x^2 + x – 1 = 0
\]

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

取正根：\( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 \)，满足 \( 0 < x < 1 \)。所以 \( PD = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \).

步骤 2：计算 \( \tan \angle BPA \)：我们计算 \( \triangle PAB \) 中 \( \angle APB \)。使用坐标几何方法：

• 向量 \( \vec{PA} = (-1-x, 0) \)
• 向量 \( \vec{PB} = (-1-x, 1) \)

直线 \( PA \) 的斜率 \( m_1 = 0 \)，直线 \( PB \) 的斜率 \( m_2 = \frac{1}{-1-x} \)。所以：

\[
\tan \angle BPA = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{0 – \frac{1}{-1-x}}{1} \right| = \frac{1}{1+x}
\]

代入 \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)：

\[
1 + x = 1 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\]

\[
\tan \angle BPA = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}
\]

有理化分母：

\[
\frac{2}{1 + \sqrt{5}} \times \frac{1 – \sqrt{5}}{1 – \sqrt{5}} = \frac{2(1 – \sqrt{5})}{1 – 5} = \frac{2(1 – \sqrt{5})}{-4} = \frac{\sqrt{5} – 1}{2}
\]

答：\( \tan \angle BPA = \frac{\sqrt{5} – 1}{2} \)。\(\Box\)

小结

通过这个问题，我们学习了如何利用相似三角形的性质求解几何问题。同学们可以尝试改变 \( PD \) 的值，探索 \( \tan \angle BPA \) 的变化规律，进一步加深对相似三角形的理解！