2024年宝山区二模第17题

几何题目：正方形中的相似三角形

题目

正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 在 AD 的延长线上，且 PD < CD。延长 PB、PC，如果 \triangle CDP \sim \triangle PAB，求 \tan \angle BPA。（如图 3 所示）

图形

以下是正方形 ABCD、点 P 及延长线 PB、PC 的示意图：

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解答

已知条件：正方形 ABCD，边长 AB = BC = CD = DA = 1。点 P 在 AD 的延长线上，且 PD < CD，即 PD < 1。设 PD = x，其中 0 < x < 1。\triangle CDP \sim \triangle PAB，求 \tan \angle BPA。

我们给各点赋坐标：A(0,0)，B(0,1)，C(1,1)，D(1,0)，点 P(1+x, 0)，其中 0 < x < 1，所以 PD = x.

步骤 1：利用相似三角形：由于 \triangle CDP \sim \triangle PAB，对应角为 \angle CDP \leftrightarrow \angle PAB，\angle DCP \leftrightarrow \angle APB，\angle CPD \leftrightarrow \angle BPA。对应边为 DC \leftrightarrow AP，CP \leftrightarrow PB，DP \leftrightarrow AB。所以有比例关系：

    \[ \frac{DC}{AP} = \frac{DP}{AB} \]

其中 DC = 1，AB = 1，DP = x，AP = AD + DP = 1 + x。代入得：

    \[ \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1} \]

解得：

    \[ 1 = x(1+x) \implies x^2 + x - 1 = 0 \]

    \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

取正根：x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618，满足 0 < x < 1。所以 PD = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.

步骤 2：计算 \tan \angle BPA：我们计算 \triangle PAB 中 \angle APB。使用坐标几何方法：

  • 向量 \vec{PA} = (-1-x, 0)
  • 向量 \vec{PB} = (-1-x, 1)

直线 PA 的斜率 m_1 = 0，直线 PB 的斜率 m_2 = \frac{1}{-1-x}。所以：

    \[ \tan \angle BPA = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{0 - \frac{1}{-1-x}}{1} \right| = \frac{1}{1+x} \]

代入 x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}：

    \[ 1 + x = 1 + \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]

    \[ \tan \angle BPA = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \]

有理化分母：

    \[ \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \times \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{-4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \]

答：\tan \angle BPA = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}。\Box

小结

通过这个问题，我们学习了如何利用相似三角形的性质求解几何问题。同学们可以尝试改变 PD 的值，探索 \tan \angle BPA 的变化规律，进一步加深对相似三角形的理解！

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