第3题. 下列函数中，\(\text{y}\) 的值随 \(\text{x}\) 值的增大而减小的是（\(\text{▲}\)）。
(A) \(\text{y} = 2\text{x}^2 + 1\); (B) \(\text{y} = -2\text{x}^2 + 1\); (C) \(\text{y} = \text{x} + 1\); (D) \(\text{y} = -\text{x} + 1\);
解题过程
题目要求找出一个函数，其中 \(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大而减小。我们可以通过分析每个选项来确定哪个函数满足这个条件。
知识点复习
1. **二次函数**：形如 \(\text{y} = \text{ax}^2 + \text{bx} + \text{c}\) 的函数称为二次函数。二次函数的图像是一条抛物线。
- 当 \(\text{a} > 0\) 时，抛物线开口向上，\(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大先减小后增大。
- 当 \(\text{a} < 0\) 时，抛物线开口向下，\(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大先增大后减小。
2. **一次函数**：形如 \(\text{y} = \text{mx} + \text{b}\) 的函数称为一次函数。一次函数的图像是一条直线。
- 当 \(\text{m} > 0\) 时，直线斜率为正，\(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大而增大。
- 当 \(\text{m} < 0\) 时，直线斜率为负，\(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大而减小。
易错点扩展
在选择题中，容易混淆的是二次函数和一次函数的性质。特别是对于二次函数，需要注意开口方向对函数增减性的影响。
解答
- (A) \(\text{y} = 2\text{x}^2 + 1\)：这是一个开口向上的二次函数，因此 \(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大先减小后增大。
- (B) \(\text{y} = -2\text{x}^2 + 1\)：这是一个开口向下的二次函数，因此 \(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大先增大后减小。
- (C) \(\text{y} = \text{x} + 1\)：这是一个斜率为正的一次函数，因此 \(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大而增大。
- (D) \(\text{y} = -\text{x} + 1\)：这是一个斜率为负的一次函数，因此 \(\text{y}\) 的值随着 \(\text{x}\) 的增大而减小。
综上所述，正确答案是 (D) \(\text{y} = -\text{x} + 1\)。