6. 如图1，\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\), \(AB=5\), \(\tan B=\frac{1}{2}\)。如果以点\(C\)为圆心，半径为\(R\)的⊙\(C\)与线段\(AB\)有两个交点，那么⊙\(C\)的半径\(R\)的取值范围是（ ）
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\begin{tikzpicture}
% 定义三角形 ABC 的顶点
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (A) at (0,2.236); % \sqrt{5} ≈ 2.236
\coordinate (B) at (4.472,0); % 2\sqrt{5} ≈ 4.472
% 绘制三角形 ABC
\draw (A) — (B) — (C) — cycle;
% 标注顶点
\node at (A) [above left] {$A$};
\node at (B) [below right] {$B$};
\node at (C) [below left] {$C$};
\end{tikzpicture}

(A) \(2<R\leqslant\sqrt{5}\);

(B) \(2\leqslant R\leqslant\sqrt{5}\);

(C) \(\sqrt{5}\leqslant R\leqslant2\sqrt{5}\);

(D) \(0<R\leqslant\sqrt{5}\).

题目解析

首先，我们来复习一下相关的知识点：

• 直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边是最长的边，且满足勾股定理：\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中\(c\)为斜边。
• 正切函数：\(\tan B =\)对边/邻边 ，这里指的是在直角三角形中，角\(B\)的对边与邻边的比值。
• 圆与直线的关系：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当圆与直线相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径。

题目要求我们求出以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点时，半径R的取值范围。

首先，我们需要明确几个关键点：

• △ABC是一个直角三角形，其中∠C=90°。
• 已知AB=5，且\(\tan B = \frac{1}{2}\)。
• 以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点。

根据直角三角形的性质，我们可以得到以下信息：

• 在直角三角形中，斜边是最长的边，因此AC和BC分别是两条直角边。
• 根据勾股定理，有\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)。
• 已知AB=5，所以有\(5^2 = AC^2 + BC^2\)，即\(25 = AC^2 + BC^2\)。
• 又因为\(\tan B = \frac{1}{2}\)，所以有\(\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}\)，即\(BC = \frac{1}{2}AC\)。

将\(BC = \frac{1}{2}AC\)代入到勾股定理中，得到：

\(25 = AC^2 + \left(\frac{1}{2}AC\right)^2\)

解得：\(AC = 2\sqrt{5}\), \(BC = \sqrt{5}\)。

接下来，我们需要确定⊙C与线段AB有两个交点时，半径R的取值范围。

• 当⊙C与线段AB相切时，半径R最小，此时R等于点C到线段AB的距离。
• 当⊙C与线段AB相交时，半径R最大，此时R等于点C到线段AB的距离加上线段AB的一半。

点C到线段AB的距离可以通过垂线段公式计算得出：

\(d = \frac{|AC \cdot BC|}{AB} = \frac{|2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}|}{5} = 2\)。

因此，当⊙C与线段AB相切时，半径R最小为2。

当⊙C与线段AB相交时，半径R最大为点C到线段AB的距离加上线段AB的一半，即\(R = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}\)。

但是，由于⊙C是以点C为圆心，半径为R的圆，所以R的最大值不能超过AC或BC的长度，即R的最大值为√5。

综上所述，⊙C的半径R的取值范围是2 < R ≤ √5。

因此，正确答案是(A) 2 < R ≤ √5。