题目：
23.如图10，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E。联结AC、DO，延长DO交AC于点F。
(1) 求证：AF=OF·DF；
(2) 如果CD=8，BE=2，求OF的长。
详细解答：
(1) 证明：连接AD
∵ 直径AB垂直于弦CD，
∴ CE = DE = \(\frac{1}{2}CD\)，
∵ AE⊥CD，
∴ AC = AD，
∴ ∠FAO = ∠DAO，
∵ AO = DO，
∴ ∠DAO = ∠ODA，
∴ ∠FAO = ∠ODA，
又∠AFO = ∠DFA，
∴ △AFO∽△DFA，
∴ \(\frac{AF}{OF} = \frac{DF}{AF}\)，
∴ AF² = OF·DF。
(2) 解答：
∵ CE = DE = \(\frac{1}{2}CD\)，CD = 8，
∴ CE = DE = 4，
设半径为r，
∵ BE = 2，
∴ OE = r – 2，
在Rt△DEO中，OE² + DE² = DO²，
∴ (r – 2)² + 4² = r²，
解得r = 5，
∴ OE = 3，AE = AO + OE = 8，
∴ AD = \(\sqrt{AE² + DE²} = 4\sqrt{5}\)，
∵ △AFO∽△DFA，
∴ \(\frac{AF}{DF} = \frac{OF}{AF} = \frac{AO}{AD}\)，即 \(\frac{AF}{OF + 5} = \frac{OF}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{4\sqrt{5}}\)，
整理得 \(\begin{cases} 4\sqrt{5}OF = 5AF \\ 5OF + 25 = 4\sqrt{5}AF \end{cases}\)，
解得 OF = \(\frac{25}{11}\)。
相关知识点复习：
1. 圆的性质：直径垂直于弦时，弦被平分。
2. 相似三角形的性质：对应边成比例。
3. 勾股定理的应用。
易错提示和拓展：
1. 在证明过程中，注意相似三角形的判定条件。
2. 解方程时，注意检查解的合理性。
3. 拓展：可以尝试其他方法证明AF = OF·DF，例如利用圆幂定理。