题目：方程 \(\sqrt{2-x} = -x\) 的解。
详细讲解
这是一个包含根号的方程，我们需要对方程进行变形并求解。以下是用十字相乘法解题的步骤：
- 移项并平方两边：
原方程为：
\(\sqrt{2-x} = -x\)
为了去掉根号，我们对等式两边平方：
\(\left(\sqrt{2-x}\right)^2 = (-x)^2\)
化简后得到：
\(2-x = x^2\) - 整理方程：
将所有项移到一边，整理为标准形式：
\(x^2 + x – 2 = 0\) - 用十字相乘法求解：
对于一元二次方程 \(x^2 + x – 2 = 0\)，我们可以用因式分解法（十字相乘法）来解。
我们需要找到两个数，它们的乘积等于 \(a \cdot c = 1 \cdot (-2) = -2\)，和等于 \(b = 1\)。
试想：\(2 \times (-1) = -2\)，且 \(2 + (-1) = 1\)，满足条件。
于是，方程可以分解为：
\((x + 2)(x – 1) = 0\)
根据零乘积原理，解得：
\(x + 2 = 0\) 或 \(x – 1 = 0\)
即：
\(x_1 = -2\)，\(x_2 = 1\) - 验证解的合理性：
由于原方程中有根号，平方操作可能引入增根，我们需要将两个解代入原方程验证。
(1) 将 \(x = 1\) 代入：
\(\sqrt{2-1} = -1\)
即：
\(1 = -1\)
显然不成立，因此 \(x = 1\) 不是解。
(2) 将 \(x = -2\) 代入：
\(\sqrt{2-(-2)} = -(-2)\)
即：
\(\sqrt{4} = 2\)
成立，因此 \(x = -2\) 是解。
最终答案：
方程 \(\sqrt{2-x} = -x\) 的解为 \(x = -2\)。
知识点复习与易错点扩展
- 十字相乘法：
对于一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，如果能找到两个数满足乘积为 \(a \cdot c\)，和为 \(b\)，即可通过因式分解快速求解。 - 根号方程的注意事项：
平方两边可能引入增根，必须代入原方程验证，确保解满足所有条件。 - 定义域检查：
根号内的表达式 \(2-x \geq 0\)，即 \(x \leq 2\)，且右边 \(-x \geq 0\)，即 \(x \leq 0\)。解 \(x = -2\) 符合要求。