题目：
25. 已知 \(AB\) 是半圆 \(O\) 的直径，\(C\) 是半圆 \(O\) 上不与 \(A\)、\(B\) 重合的点，将弧 \(AC\) 沿直线 \(AC\) 翻折，翻折所得的弧交直径 \(AB\) 于点 \(D\)，\(E\) 是点 \(D\) 关于直线 \(AC\) 的对称点。
(1) 如图，点 \(D\) 恰好落在点 \(O\) 处。
用尺规作图在图中作出点 \(E\)（保留作图痕迹），连接 \(AE\)、\(CE\)、\(CD\)，求证：四边形 \(ADCE\) 是菱形；
连接 \(BE\)，与 \(AC\)、\(CD\) 分别交于点 \(F\)、\(G\)，求 \(\frac{FG}{BE}\) 的值；
(2) 如果 \(AB=10, OD=1\)，求折痕 \(AC\) 的长。
详细解答：
(1) 证明：\(E\) 是点 \(D\) 关于直线 \(AC\) 的对称点。
\(AE = AD\), \(CE = CD\)。
\(AD = CD\)。
\(AE = AD = CE = CD\)。
四边形 \(ADCE\) 是菱形。
\(CE \parallel AD\)。
\(\frac{CF}{AF} = \frac{CE}{AB} = \frac{1}{2}\)。
\(FG = \frac{1}{3} EG\), \(EG = \frac{1}{2} BE\)。
\(FG = \frac{1}{6} BE\), \(\frac{FG}{BE} = \frac{1}{6}\)。
(2) 当点 \(D\) 在点 \(O\) 右侧。
作点 \(D\) 关于直线 \(AC\) 的对称点 \(E\)，联结 \(DE\)、\(AE\)。
过点 \(O\) 作 \(OG \perp AE\)，垂足为点 \(G\)。过点 \(C\) 作 \(CH \perp AB\)，垂足为点 \(H\)。
\(\angle AGO = \angle OHC = 90^\circ\)。
\(AE = AD\), \(DE \perp AC\), \(\angle 1 = \angle 2\)。
\(AO = CO\), \(\angle = \angle 2\)。
\(\angle COH = \angle 2 + \angle 3 = 2 \angle 2\)。
\(\angle OAG = \angle 1 + \angle 2 = 2 \angle 2\)。
\(\angle COH = \angle OAG\)。
\(AO = CO\), \(\triangle OAG \cong \triangle COH\), \(AG = OH\)。
\(AB = 10\), \(OD = 1\), \(AD = AE = 6\)。
\(OG \perp AE\), \(AG = \frac{1}{2} AE = 3\)。
\(OH = 3\), \(AH = 8\)。
在 \(Rt\triangle COH\) 中, \(CH = \sqrt{CO^2 – OH^2} = \sqrt{5^2 – 3^2} = 4\)。
在 \(Rt\triangle ACH\) 中, \(AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5}\)。
当点 \(D\) 在点 \(O\) 左侧，同理可得 \(AC = \sqrt{70}\)。
综上所述：折痕 \(AC\) 的长为 \(4\sqrt{5}\) 或者 \(\sqrt{70}\)。
相关知识点复习：
1. 菱形的性质：对角线互相垂直平分，四边相等。
2. 直角三角形的勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 对称性：点关于直线的对称点到直线的距离相等。
易错提示和拓展：
1. 注意区分点 \(D\) 在点 \(O\) 右侧和左侧的情况，不同的位置会导致不同的结果。
2. 在解题过程中，要充分利用几何图形的对称性和直角三角形的性质。
3. 解题时要注意细节，如点 \(D\) 的位置变化对结果的影响。