钛学习空间：整式知识讲解
欢迎来到“钛学习空间”的数学讲义！本讲义将帮助你系统地学习整式的相关知识，包括单项式、多项式和整式的定义、性质及应用。通过学习本讲义，你将掌握判断代数式是否为整式、计算系数与次数以及解决相关数学问题的方法。
学习目标
- 理解单项式的定义、系数和次数。
- 理解多项式的定义、项、常数项和次数。
- 掌握整式的概念，能够判断一个代数式是否为整式。
- 能够准确熟练地用代数式表示数量关系。
一、单项式
1.1 单项式的概念
单项式是数学中最基本的代数式之一，它包括以下三种类型：
- 数字与字母的积：如 \(-2xy^2\)、\(\frac{1}{3}mn\)
- 单独的一个数：如 \(-1\)
- 单独的一个字母：如 \(x\)
注意事项：
- 单项式中不能含有加减运算，但可以包含乘法和除法运算（前提是分母不含字母）。
- 示例：
- \(\frac{st}{2}\) 可写成 \(\frac{1}{2}st\)，是单项式。
- \(\frac{5}{m}\) 不是单项式，因为分母含有字母 \(m\)。
1.2 单项式的系数
单项式中的数字因数称为其系数。
- 确定系数的方法：先将单项式写成数字与字母乘积的形式，再找出数字部分。
- 特殊情况：
- 圆周率 \(\pi\) 是常数，出现在单项式中时视为系数，例如 \(\pi r^2\) 的系数是 \(\pi\)。
- 系数为 \(1\) 或 \(-1\) 时，通常省略不写，例如 \(x\) 的系数是 \(1\)。
- 系数为带分数时，通常写成假分数，例如 \(1\frac{1}{4}x^2 y\) 写成 \(\frac{5}{4}x^2 y\)。
1.3 单项式的次数
单项式中所有字母的指数之和称为其次数。
- 示例：
- \(3x^2 y^3\) 的次数为 \(2 + 3 = 5\)。
- \(-6xy^2\) 的次数为 \(1 + 2 = 3\)。
- 常数项（不含字母）的次数为 \(0\)，例如 \(-5\) 的次数是 \(0\)。
二、多项式
2.1 多项式的概念
多项式是由若干个单项式通过加法或减法连接而成的代数式。
- 示例：\(2x^3 y^2 – xy^3 + \frac{1}{2}x^2 y^4 – 5x^4 – 6\)
2.2 多项式的项和常数项
- 项：构成多项式的每个单项式，例如上述多项式有 5 项。
- 常数项：不含字母的项，例如上述多项式中的 \(-6\)。
2.3 多项式的次数
多项式的次数是其所有项中次数最高的单项式的次数。
- 示例：\(2x^3 y^2 – xy^3 + \frac{1}{2}x^2 y^4 – 5x^4 – 6\)
- 各项次数分别为：\(5, 4, 6, 4, 0\)
- 多项式次数为 \(6\)。
2.4 多项式的排列
多项式可以按照某个字母的指数进行升序或降序排列。
- 降序排列：指数从高到低。
- 升序排列：指数从低到高。
- 注意：排列时需连同正负号一起移动。
- 示例：多项式 \(2x^3 y^2 – xy^3 + \frac{1}{2}x^2 y^4 – 5x^4 – 6\)
- 按 \(x\) 的降序排列：\(-5x^4 + 2x^3 y^2 + \frac{1}{2}x^2 y^4 – xy^3 – 6\)
- 按 \(y\) 的升序排列：\(-6 – 5x^4 + 2x^3 y^2 – xy^3 + \frac{1}{2}x^2 y^4\)
三、整式
3.1 整式的定义
整式是单项式和多项式的统称。
- 换句话说，整式是由数字和字母通过有限次的乘法、加法和减法运算构成的代数式。
- 不属于整式的例子：
- \(\frac{1}{x}\)（分母含字母）
- \(\sqrt{x}\)（含根号）
- \(x^{-1}\)（负指数，等价于 \(\frac{1}{x}\)）
四、判断代数式是否为整式
判断一个代数式是否为整式，需检查其是否满足整式的定义：
- 是整式的例子：
- \(-2xy^2\)
- \(\frac{1}{3}mn\)
- \(2x^3 y^2 – xy^3 + \frac{1}{2}x^2 y^4 – 5x^4 – 6\)
- 不是整式的例子：
- \(\frac{5}{m}\)（分母含字母）
- \(\sqrt{x}\)（含根号）
五、综合应用
5.1 判断单项式并求系数与次数
练习：判断以下代数式是否为单项式，若是，求其系数和次数：
- \(-3x^2 y\)
- \(\frac{1}{x}\)
- \(\pi r^2\)
- \(\frac{3}{2}abc\)
- \(x\)
- \(-3 \times 10^5 t\)
答案：
- 是，系数 \(-3\)，次数 \(3\)
- 不是（分母含字母）
- 是，系数 \(\pi\)，次数 \(2\)
- 是，系数 \(\frac{3}{2}\)，次数 \(3\)
- 是，系数 \(1\)，次数 \(1\)
- 是，系数 \(-3 \times 10^5\)，次数 \(1\)
5.2 求解参数
例1：已知多项式 \(-6xy^2 – 7x^{3m-1} y^2 + \frac{4}{3}x^3 y – x^2 y – 5\) 是七次五项式，求 \(m\) 的值。
解：
- 分析各项：
- \(-6xy^2\)：系数 \(-6\)，次数 \(1 + 2 = 3\)
- \(-7x^{3m-1} y^2\)：系数 \(-7\)，次数 \((3m – 1) + 2 = 3m + 1\)
- \(\frac{4}{3}x^3 y\)：系数 \(\frac{4}{3}\)，次数 \(3 + 1 = 4\)
- \(-x^2 y\)：系数 \(-1\)，次数 \(2 + 1 = 3\)
- \(-5\)：系数 \(-5\)，次数 \(0\)
- 多项式是七次五项式，最高次数为 \(7\)。
观察发现 \(3m + 1\) 可能为最高次数。 - 设 \(3m + 1 = 7\)：
- \(3m = 6\)
- \(m = 2\)
- 验证：\(m = 2\) 时，\(3m + 1 = 7\)，其他项次数均小于 \(7\)，符合条件。
答案：\(m = 2\)
例2：已知多项式 \((a – 4)x^3 – x^b + x – b\) 是关于 \(x\) 的二次三项式，求 \(a\) 与 \(b\) 的差的相反数。
解：
- 分析多项式：
- 项：\((a – 4)x^3, -x^b, x, -b\)
- 是三项式，说明有一项系数为 \(0\)。
- 是二次多项式，最高次数为 \(2\)。
- 若 \((a – 4)x^3\) 项消失，则 \(a – 4 = 0 \Rightarrow a = 4\)。
多项式变为：\(-x^b + x – b\) - 设 \(b = 2\)，则：
- \(-x^2 + x – b\)，次数为 \(2\)，且为三项式，符合条件。
- 计算：\(a = 4, b = 2\)
- \(a – b = 4 – 2 = 2\)
- 差的相反数：\(-(a – b) = -2\)
答案：\(-2\)
六、总结
- 单项式：数字与字母的积，或单独的数/字母。
- 多项式：若干单项式的和。
- 整式：单项式和多项式的统称。
- 系数与次数：描述单项式和多项式的重要特征。
- 应用：通过参数求解，可以解决复杂的数学问题。
希望这份讲义能帮助你在“钛学习空间”更好地掌握整式的知识！如有疑问，欢迎随时反馈。