钛学习空间：整式知识巩固练习

本练习旨在帮助你巩固对整式知识的理解，包括单项式、多项式和整式的定义、性质及计算方法。通过完成以下选择题、填空题和解答题，你将熟练掌握判断代数式类型、计算系数与次数以及解决相关问题的能力。

一、选择题

下列说法中错误的个数是 ( )。
(1) 单独一个数 0 不是单项式；
(2) 单项式 \( -a \) 的次数为 0；
(3) 多项式 \( -a^2 + abc + 1 \) 是二次三项式；
(4) \( -a^2 b \) 的系数是 1。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
已知单项式 \( -\frac{4x^2 y}{3} \)，下列说法正确的是 ( )。
A. 系数是 -4，次数是 3
B. 系数是 \( -\frac{4}{3} \)，次数是 3
C. 系数是 \( \frac{4}{3} \)，次数是 3
D. 系数是 \( -\frac{4}{3} \)，次数是 2
如果一个多项式的次数是 3，那么这个多项式的任何一项的次数 ( )。
A. 都小于 3
B. 都等于 3
C. 都不小于 3
D. 都不大于 3
下列式子：\( a + 2b \), \( \frac{a – b}{2} \), \( \frac{1}{3}(x^2 – y^2) \), \( \frac{2}{a} \), 0 中，整式的个数是 ( )。
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
关于单项式 \( -2^3 x^2 y^2 z \)，下列结论正确的是 ( )。
A. 系数是 -2，次数是 4
B. 系数是 -2，次数是 5
C. 系数是 -2，次数是 8
D. 系数是 -8，次数是 5

代数式 \( \frac{2}{3} mn \), \( \frac{5}{3} x^2 y^3 \), \( \frac{x – y}{2} \), \( -a b^2 c^3 \), 0, \( a + 3a – 1 \) 中是单项式的是 _______，是多项式的是 _______。
关于 \( x \) 的多项式 \( (m – 1)x^3 – 2x^n + 3x \) 的次数是 2，那么 \( m = \) _______，\( n = \) _______。
多项式 \( 2x^2 – 3x + 5 \) 是 _______ 次 _______ 项式。
\( -a x^2 y^{6 – b} \) 是关于 \( x \)、\( y \) 的五次单项式，且系数为 3，则 \( a + b \) 的值为 _______。
有一组单项式：\( a^2 \), \( \frac{a^3}{2} \), \( \frac{a^4}{3} \), \(\cdots\)，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 10 个单项式：_______。
关于 \( x \) 的二次三项式的一次项的系数为 5，二次项的系数为 -3，常数项为 -4，按照 \( x \) 的次数降序排列，这个二次三项式为 _______。
某校生物教师在实验室分组试验水稻种子发芽：第 1 组取种子数为 3 粒，第 2 组为 5 粒，第 3 组为 7 粒，第 4 组为 9 粒，……，按此规律，第 \( n \) 组应取种子数为 _______ 粒。
请把多项式 \( 3x^2 y – 3x y^2 + x^3 – 5y^3 \) 重新排列：
按 \( y \) 降序排列：_______
按 \( y \) 升序排列：_______

假设一个数值转换机将输入 \( x \) 和 \( y \) 转换为 \( \frac{2x + y^3}{2} \)，请用 \( x \)、\( y \) 的多项式表示输出结果，并求输入 \( x = 3 \)、\( y = -2 \) 时的输出结果。
已知单项式 \( -\frac{1}{2} x^4 y^3 \) 的次数与多项式 \( a^2 + 8a^{m-1} b + a^2 b^2 \) 的次数相同，求 \( m \) 的值。
已知多项式 \( -a^{12} + a^{11} b – a^{10} b^2 + \cdots + a b^{11} – b^{12} \)。
(1) 写出该多项式的第 5 项，并求其系数和次数。
(2) 该多项式是几次几项式？
观察以下奇数数列：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, …
(1) 选取任意一个数 \( a \)，并考虑其前后各两个数（即 \( a – 2, a, a + 2 \)）以及“上下平移”后的数（假设平移步长为8，即 \( a – 8, a + 8 \)）。计算这五个数 \( a – 8, a – 2, a, a + 2, a + 8 \) 的和与 \( a \) 的关系。
(2) 用代数式表示这五个数之和。
(3) 若将这五个数整体平移（例如都加上某个常数 \( k \)），和的规律是否改变？
(4) 这五个数之和能否等于2010？若能，给出 \( a \) 的值；若不能，说明理由。

【答案】D
【解析】(1) 0 是单项式，错误；(2) \( -a \) 的次数为 1，错误；(3) \( -a^2 + abc + 1 \) 最高次数为 3，是三次三项式，错误；(4) \( -a^2 b \) 的系数为 -1，错误。共 4 个错误。
【答案】B
【解析】\( -\frac{4x^2 y}{3} = -\frac{4}{3} x^2 y \)，系数为 \( -\frac{4}{3} \)，次数为 \( 2 + 1 = 3 \)。
【答案】D
【解析】多项式的次数是最高项的次数，故任何一项的次数都不大于 3。
【答案】C
【解析】整式包括：\( a + 2b \), \( \frac{a – b}{2} \), \( \frac{1}{3}(x^2 – y^2) \), 0，共 4 个。\( \frac{2}{a} \) 分母含字母，不是整式。
【答案】D
【解析】\( -2^3 x^2 y^2 z = -8 x^2 y^2 z \)，系数为 -8，次数为 \( 2 + 2 + 1 = 5 \)。

【答案】\( \frac{2}{3} mn, \frac{5}{3} x^2 y^3, -a b^2 c^3, 0 \)；\( \frac{x – y}{2}, a + 3a – 1 \)
【解析】单项式是数字与字母的积或单独的数；多项式是单项式的和。
【答案】\( m = 1 \), \( n = 2 \)
【解析】若 \( m – 1 \neq 0 \)，最高次数为 3，与题目矛盾；故 \( m = 1 \)，多项式为 \( -2x^n + 3x \)，次数为 2，则 \( n = 2 \)。
【答案】2, 3
【解析】最高次数为 2，有 3 项，故为二次三项式。
【答案】0
【解析】次数 \( 2 + (6 – b) = 5 \)，得 \( b = 3 \)。系数 \( -a = 3 \)，得 \( a = -3 \)。故 \( a + b = -3 + 3 = 0 \)。
【答案】\( \frac{a^{11}}{10} \)
【解析】规律为第 \( n \) 项为 \( \frac{a^{n+1}}{n} \)，第 10 项为 \( \frac{a^{11}}{10} \)。
【答案】\( -3x^2 + 5x – 4 \)
【解析】按降序排列：二次项 \( -3x^2 \)，一次项 \( 5x \)，常数项 -4。
【答案】\( 2n + 1 \)
【解析】规律为 \( 2n + 1 \)：第 1 组 \( 2 \times 1 + 1 = 3 \)，第 2 组 \( 2 \times 2 + 1 = 5 \)，依次类推。
【答案】按 \( y \) 降序：\( -5y^3 – 3x y^2 + 3x^2 y + x^3 \)
按 \( y \) 升序：\( x^3 + 3x^2 y – 3x y^2 – 5y^3 \)
【解析】按 \( y \) 的次数从高到低或从低到高排列。

【答案】输出结果为 \( \frac{2x + y^3}{2} \)，当 \( x = 3 \), \( y = -2 \) 时，\( \frac{2 \times 3 + (-2)^3}{2} = \frac{6 – 8}{2} = -1 \)。
【解析】直接代入计算：\( (-2)^3 = -8 \)。
【答案】\( m = 5 \)
【解析】单项式次数 \( 4 + 3 = 7 \)，多项式次数为 \( \max(2, m – 1 + 1, 4) = m \)，故 \( m = 7 \)。但若 \( m – 1 \) 为指数，则 \( m – 1 + 1 = 7 \)，解得 \( m = 5 \)。
【答案】(1) 第 5 项为 \( -a^8 b^4 \)，系数为 -1，次数为 12。
(2) 12 次 13 项式。
【解析】(1) 规律为 \( -a^{12-k} b^k \)，\( k = 4 \) 时为第 5 项。(2) 最高次数 12，项数从 \( k = 0 \) 到 12，共 13 项。
【答案】(1) 和为 \( 5a \)。
(2) \( 5a \)。
(3) 规律不变。
(4) 不能，理由：\( 5a = 2010 \)，\( a = 402 \)，但数列中无402。
【解析】(1) \( (a – 8) + (a – 2) + a + (a + 2) + (a + 8) = 5a \)。(2) 代数式为 \( 5a \)。(3) 平移后和为 \( 5(a + k) \)，规律类似。(4) \( a = 402 \) 不在数列中。